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'[理学]第二章、行列式 行列式的概念n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开定理行列式的计算再论可逆矩阵2 二元线性方程组的求解（消元法）.a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1)(2)§1行列式的概念背景：当时，方程组有唯一解一般形式也可表示为其中3 当系数行列式相应的三元线性方程组方程组有唯一解其中7 说明：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(1)项数：2阶行列式含2项，3阶行列式含6项,这恰好就是2!,3!.(2)每项构成:2阶和3阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的2个和3个元素的乘积.(3)各项符号:2阶行列式含2项,其中1正1负,3阶行列式6项,3正3负.观察二阶行列式和三阶行列式：思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？8 例1计算行列式例2解方程组注意：系数行列式为9 n!定义2.1由n个不同的数字构成的一个有序数组称为这n个数字的一个n级排列.例如：123455123453214都是数1，2，3，4，5构成的一个5级排列.自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为定义2.2§2n阶行列式的定义一.排列的逆序数注：n个数的不同排列有个10 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列有一个逆序.一个排列中出现的逆序的总数定义2.3称为这个排列的逆序数，排列的逆序数通常记为例如：排列12的逆序数为，排列21的逆序数为，排列231的的逆序数为，排列213的逆序数是。012111 定义2.4逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。n级排列的逆序数的计算或者=12 求排列32514的逆序数.例1例2求排列453162的逆序数.例3求排列423165的逆序数.=思考：由上面的例题你还能得到什么方法来计算排列的逆序数？13 定义2.5把一个排列中的某两个数交换位置，其余的数不动，这种交换称为一次对换.将相邻的两个数对换，称为相邻对换.定理2.1一次对换，改变排列奇偶性．证明：（由特殊到一般）思考：对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？例：排列132的逆序数是1，为奇排列。将数1，2做一次对换变为排列231，其逆序数是2，为偶排列。14 的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,当时，当时，经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性.对换，除外，其它元素的逆序数不改变.设排列为先证相邻对换,15 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列都改变奇偶性.次相邻对换次相邻对换次相邻对换再证一般对换设排列为现来对换与16 定理2.2时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为个.推论1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。推论2任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性.17 1.概念的引入三阶行列式说明：（1）项数与列标排列个数的关系：三阶行列式共有项，即项．（2）每一项的结构：每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积（3）每项的符号：每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）．二.n阶行列式的定义18 例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列因此,三阶行列式可写成下列形式19 2.n阶行列式的定义由个数，组成的一个行列的式子，用记号其展开式为表示,称为一个阶行列式其中，20 即连加号表示对所有这样的排列求和21 说明:（1）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而引入的;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;（6）上式称为n阶行列式的完全展开式.占一半，行列式是一个数;（2）阶行列式是项的代数和,其中正负项各（3）阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;(4)的符号是22 行列式的等价定义23 例1在6阶行列式中，下列项应带什么符号.解:431265的逆序数为所以前边应带正号.342165的逆序数为所以前边应带正号.思考：上题还有第三种方法吗？24 例2计算4阶行列式解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一项的乘积中只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需展开式中不明显为0的项。行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D＝a11a22a33a44。25 主对角线以上的元素全为零（即ij时元素aij＝0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零（即i≠j时元素aij＝0）的行列式称为对角行列式，它等于主对角线上元素的乘积。26 例3证明上面的行列式中，未写出的元素都是0。证:行列式的值为若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…21，它的逆序数为27 所以行列式的值为例如28 例4证明29 思考题已知30 思考题解答解含的项有两项,即对应于31 §3行列式的性质记行列式DT称为行列式D的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。证：记即bij＝aji(i，j＝1，2，…，n)32 性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。证交换第p、q两列，得行列式说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.33 对于D中任一项在D1中必有对应一项与只经过一次对换所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。推论若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。34 性质3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。性质4行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。35 性质5若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和则行列式D等于下列两个行列式之和：例如36 性质6把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有37 例1计算四阶行列式解：例2计算四阶行列式38 §4行列式按行（列）展开定理背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？以三阶行列式为例，容易验证：-+可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式39 则Aij叫做元素aij的代数余子式。显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。令先看下面两个定义：例如：三阶行列式中元素的余子式=如：三阶行列式中元素的代数余子式定义设，划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（n－1）阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij。40 引理n阶行列式D中，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D＝aijAij证先证i＝1，j＝1的情形41 设D的第i行除了外都是0.把D的第行依次与第行，第行，······第2行，第1行交换；再将第列依次与第列第列，······，第2列，第1列交换，这样共经过次交换行与交换列的步骤.对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。42 得例1：计算四阶行列式43 定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证：（按行展开）（按列展开）44 45 例1计算行列式解由定理3，按第一行展开得也可以按其他行（或列）展开说明：利用上述方法计算行列式也称为降阶法46 例2计算解：47 例3计算行列式(加边法)解当x＝0或y＝0时，显然D＝0，现假设x≠0，且y≠0，由定理知48 推论行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证49 当ij,将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得同理可证50 代数余子式的重要性质:例4已知求51 定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质:方阵的行列式52 下面证明设定理453 证明:54 推论2设推论1设55 证明:构造一个行列式对上述行列式作行变换，将第n+1行的a11倍，第n+2行的a12倍，…第2n行的a1n倍加到第一行，得定理5设A,B是n阶方阵，则56 再依次将第n+1行的ak1倍(k=2,3,…,n)，第n+2行的ak2倍，…第2n行的akn倍加到第k行，得57 由定理4的推论得证明完毕。注：设A,B是n阶方阵,则58 思考题求第一行各元素的代数余子式之和59 思考题解答解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成60 例1计算§5行列式的计算一、对角线法则此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。二、化为三角形行列式61 例2计算62 例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式三、数学归纳法证明用数学归纳法(1)当n=2时,结论成立.63 (2)设对n－1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立.64 n-1阶范德蒙德行列式证毕.有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算例4计算65 例5计算66 例6证明67 证明:对阶数n用数学归纳法。68 四、降阶递推法例7计算方法:降阶找递推公式.69 解按第1行展开,有70 递推公式例871 解(1)(2)(n-1)72 五、加边升阶法例9计算73 74 例10计算解：75 76 说明：计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行列式的值。77 利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：设则：例1178 证明：例12证明79 例13证明80 定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.§6再论可逆矩阵81 证明：矩阵的伴随矩阵具有如下性质：82 定理6设A是n阶方阵,A可逆的充分必要条件是证先证充分性。设A的伴随矩阵为A*,则有再证必要性。由于A是可逆的,即有A-1,使A-1A=E83 推论设A，B是n阶方阵,如果AB=E，则A可逆，且B=A-1。例5求方阵的逆矩阵。解因为，所以A-1存在,先求A的伴随矩阵A*A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=284 例685 PCR产物的回收 一、实验目的及背景在生物技术实验中，ＰＣＲ反应获得的目的片段，酶切后所得特定的ＤＮＡ序列，分子杂交中所制备的探针等，经过琼脂糖凝胶电泳后，目的片段与其它ＤＮＡ分开，这就需要有一套方法将目的ＤＮＡ从凝胶中分离出来，通过处理后得到纯化的目的ＤＮＡ，以用于以后分子杂交，重组子构建，序列分析等。 从凝胶中分离回收ＤＮＡ的方法现在常用的技术有：电洗脱法低熔点琼脂糖凝胶法玻璃奶法快速纯化凝胶回收试剂盒 低熔点琼脂糖凝胶法65oC琼脂糖凝胶熔点低熔点琼脂糖凝胶37oC液体 电洗脱法基本原理将电泳分离后含目的ＤＮＡ片段的琼脂糖切割下来，装于透析袋中，继续在高电压下电泳，这时目的ＤＮＡ会从凝胶中电泳出进入透析袋中，由于ＤＮＡ分子量大，不能透过透析袋，从而保留于透析袋中。取出透析袋中含ＤＮＡ的溶液，进一步用酚、氯仿抽提纯化。 二、实验试剂及仪器DNA回收试剂盒琼脂糖电泳仪、电泳槽紫外检测仪手术刀 三、实验步骤切取琼脂糖凝胶中的目的DNA条带，放入干净的离心管中称重，如凝胶重为100mg，可视为100μl（100mg≈100μl），以此类推。加入3倍体积溶液GSB，于55℃水浴融胶6-10min，间断（2-3min）混合，确保胶块完全融化，当胶完全融化后，观察溶液的颜色，如颜色为紫色，加入适量3M醋酸钠（pH5.2），调整颜色和GSB颜色相同（黄色）。（为增加DNA回收量，可加入1倍体积异丙醇于已融化的凝胶溶液中，如凝胶重为100mg，加入100μl异丙醇）。待融化的凝胶溶液降至室温（高温时吸附柱结合DNA能力弱），加入吸附柱中静置1分钟，10,000×g离心1分钟，弃流出液。 4.加入650μl溶液WB，10,000×g离心1分钟，弃流出液。5.10,000×g离心1-2分钟，去除残留的WB。6.将吸附柱置于一干净的离心管中，在柱的中央加入30-50μlEB或去离子水（pH＞7.0）（EB或去离子水在60-70℃水浴预热，使用效果更好），室温静置1分钟。7.10,000×g离心1分钟，洗脱DNA。将洗脱出的DNA于-20℃保存。 结果与分析１．分析ＤＮＡ回收效果。２．记录电泳结果。'