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'[理学]第1讲-数学建模简介 数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮．数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一. 二、数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆机理分析◆测试分析方法机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义．测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型．测试分析方法也叫做系统辩识．将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法． 问题一：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？两个引例 解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 1.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出．2.阻滞增长模型（logistic模型）3.更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符合实际情况的变化．人口模型 拟合问题引例温度t(ºC)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻数据：求60ºC时的电阻R．设R=at+ba,b为待定系数 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定．机理分析法建模的具体步骤大致可见右图．符合实际不符合实际交付使用，从而可产生经济、社会效益实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数用实际问题的实测数据等来检验该数学模型建模过程示意图 模型数学模型的分类：◆按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等．◆按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等．三、数学模型及其分类 撰写数学建模的论文格式？1.摘要:问题、模型、方法、结果、检验或推广3.问题重述5.分析与建立模型6.模型求解7.模型检验8.模型推广9.参考文献10.附录4.模型假设0.题目2.关键词： 1.如何预报人口？要预报未来若干年的人口数，最重要的影响因素是今年的人口数和今后这些年的增长率（即人口出生率减死亡率），根据这两个数据进行人口预报是很容易的．记今年人口为，k年后人口为，年增长率为r，则预报公式为：预报正确的条件：年增长率r保持不变．数学建模实例 1.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）：英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出．2.阻滞增长模型（logistic模型）3.更复杂的人口模型随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等可见数学模型总是在不断的修改、完善，使之能符合实际情况的变化．人口模型 2.椅子能在不平的地面上放稳吗？把四只脚的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而有人认为只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了，对吗？ 3.双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失．我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如右图，玻璃厚度为2d）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果．返回 返回 目的要求了解妇人杂病的范围特点以及发病原因、一般症状和治疗原则。熟悉热入血室、带下、转胞、阴吹、阴疮等的证治。掌握腹痛、脏躁、咽中炙脔、痛经、月经不调和漏下病等的辨证施治。背诵原文第5、6、9、13、19条。 概说含义：所谓妇人杂病，是指胎产以外的疾病。本篇与另2篇的联系：妇人杂病有些属于胎产所致，而杂病不愈又能影响胎产，因此3篇应结合研究。内容：本篇内容广泛治法：各篇所载治法，以本篇最丰富。如内治法中有汤、丸、散、酒剂；外治有针刺；前阴疾患有纳阴中坐药（丸剂和散剂），以及外用洗剂和润导剂等七种剂型。 本篇主要内容妇人杂病的病因病机、治疗原则热入血室梅核气脏躁漏下经水不利带下腹痛转胞阴吹阴中生疮 一、妇人杂病的病因病机、治疗原则妇人之病，因虚、积冷、结气，为诸经水断绝，至有历年，血寒积结，胞门寒伤，经络凝坚。……（原文第8条） 二、热入血室妇人中风，七八日续来寒热，发作有时，经水适断，此为热入血室，其血必结，故使如虐状，发作有时，小柴胡汤主之。（原文第1条）妇人伤寒发热，经水适来，昼日明了，暮则谵语，如见鬼状者，此为热入血室，治之无犯胃气及上二焦，必自愈。（原文第2条）妇人中风，发热恶寒，经水适来，得之七八日，热除脉迟，身凉和，胸胁满，如结胸状，谵语者，此为热入血室也，当刺期门，随其实而取之。（原文第3条）阳明病，下血谵语者，此为热入血室，但头汗出，当刺期门，随其实而泻之，濈然汗出者愈。（原文第4条）血室 讨论（何为血室）关于血室，有不同看法：1.冲脉（成无己，方有执）。2.肝脏（柯韵伯等）。3.子宫：（景岳、程武等）。我们认为，不能把它单纯看作是一个实质器官，而应该理解为营月经生理的机能活动。这里当然也包括了冲、任脉和肝脏，因冲脉为诸经之血海；任脉主胞胎，为妇人生养之本；肝脏络阴器，而肝又为藏血之脏的缘故。 三、梅核气妇人咽中如有炙脔，半夏厚朴汤主之。（原文第5条）讨论：1.病因病机：多因情志不畅，日久气机不利，气郁则肺不布津，聚而为痰，或气郁不舒，偶感客邪，依痰凝结，滞于咽中，气与痰搏击而成。（痰凝气滞）2.鉴别：银翘马勃散、麦门冬汤3.应用：常用于咽部神经官能症、咽炎、喉炎、扁桃体炎、支气管炎、食道憩室、食道痉挛、食道狭窄、胃下垂、抑郁症、精神病 四、脏躁妇人脏躁，喜悲伤欲哭，象如神灵所作，数欠伸，甘麦大枣汤主之。（原文第6条）讨论：1.脏躁的含义：一认为“脏”指心脏，“躁”则是因心血虚，神不守舍，以致躁扰不宁。一认为“脏”指子宫，“躁”是心肝血虚，受风化热，血虚火扰，致使神志不宁。2.病位：从药物看，小麦养心气，安心神，甘草、大枣补中缓急，故病位在心脾肝归纳 甘麦大枣汤理：情志抑郁或思虑过度，致心脾受损，脏阴不足。证：除无故悲伤、像如神灵所作，数欠伸以外，常伴心烦、易怒、失眠、便秘等。法：补益心脾，安神宁心加减：①加入白芍、紫石英，名加味甘麦大枣汤，治脏躁而见反张者。②可合百合地黄汤（程门雪）。③本方加当归、茯神、枣仁、柏子仁、牡蛎、龙齿等，补血安神，效佳。 五、漏下（一）温经汤证问曰：妇人年五十所，病下利数十日不止，暮即发热，少腹里急，腹满，手掌烦热，唇口干燥，何也？师曰：此病属带下。何以故？曾经半产，瘀血在少腹不去。何以知之？其证唇口干燥，故知之。当以温经汤主之。（原文第9条）（二）胶姜汤证妇人陷经，漏下黑不解，胶姜汤主之。（原文第12条）解释 温经汤证1提示：论述因冲任虚寒，瘀血内阻引起崩漏的证治。讨论：本条难解1.关于下利与下血：原文“下利”《金鉴》谓“下血”，到底属什么？2.漏下着眼于何处？原文“此病属带下”的“带下”是泛指妇女经带诸病。3.“暮即发热、手掌烦热、唇口干燥”属阴虚发热，还属瘀热？继续 温经汤证24.亦可治白带属清稀者，如上《浙江中医杂志》之治即是。故带下泛指妇女经带诸病。5.为何不用破血逐瘀?温经汤是因瘀血而引起崩漏，且病人年已五十余，气血虚弱，病属虚中挟实之证，故用温经汤温养气血，兼以消瘀，是补正祛邪之法。6.本方有瘀可祛，无瘀可温。继续 温经汤证37.运用：①月经不调，逾期不止，或行经腹绵绵作痛者；②赤白带下，带下清稀，或见腰痛足冷，大便溏泻者；③因冲任虚损致崩中漏下，或妊娠下血，胎动不安，或素有滑胎者；④平素脾肾阳衰，下焦虚冷，证见腹冷腰酸而久不受孕者。此外，本方对于年老妇人因瘀血而致下利日久的，亦颇有效。 本方可治下利①从温经汤有温经散寒、养血祛瘀的作用来看，若改为下血，则虚寒证候无从体现。②本方确能治下利，《浙江中医杂志》1979年第10期《温经汤证治探讨》就说本方能治“赤白带下，带下清稀，或见腰痛足冷，大便溏泻者。”《中医经方在日本》温经汤的适应症也列腹泻（特别经期腹泻）。 为何属瘀热从条文“曾经半产，瘀血在少腹不去”看，应属瘀热。结合“病人胸满，唇痿舌青，口燥，但欲漱水不欲咽，无寒热，脉微大来迟，腹不满，其人言我满……”、“病者如热状，烦满，口干燥而渴，其脉反无热，是为阴伏，是瘀血也。” 六、经水不利带下经水不利，少腹满痛，经一月再见者，土瓜根散主之。（原文第10条）妇人少腹满如敦状，小便微难而不渴，生后者，此为水与血俱结在血室也，大黄甘遂汤主之。（原文第13条）妇人经水不利下，抵当汤主之。（原文第14条） 七、带下（一）矾石丸证妇人经水闭不利，脏坚癖不止，中有干血，下白物，矾石丸主之。（原文第15条）——瘀血兼湿热（二）蛇床子散蛇床子散方，温阴中坐药。（原文第20条）——寒湿带下 八、腹痛妇人六十二种风，及腹中血气刺痛，红蓝花酒主之。（原文第16条）妇人腹中诸疾痛，当归芍药散主之。（原文第17条）妇人腹中痛，小建中汤主之。（原文第18条） 九、转胞问曰：妇人病饮食如故，烦热不得卧，而反倚息者，何也？师曰：此名转胞不得溺也，以胞系了戾，故致此病，但利小便则愈，宜肾气丸主之。（原文第19条） 十、阴吹胃气下泄，阴吹而正喧，此谷气之实也，膏发煎导之。（原文第19条） 十一、阴中生疮少阴脉滑而数者，阴中即生疮，阴中蚀疮烂者，狼牙汤洗之。（原文第21条）'